数学：大道至简 驾驭无穷

人民网-人民日报海外版

何小亚肖像画。 本栏目画家张武昌绘

图二

数学是什么？要真正回答好并不容易，数学家对此也有争论。笔者无意介入，只是从科普的角度阐释一下，数学玩什么，如何看待数学，其价值何在。

数学玩数量关系、玩空间形式、玩模式。追根溯源，代数系统的产生基于数系的发展，而数的来源，中国道家认为，道生一，一生二，二生三，三生万物。一是单点集合的标志，一生于道，而道即玄，即深奥、神妙。几何系统最基本的元素是点，点动成线，线动成面，面动成体。几何中的点是抽象的，可以标明位置，但没有大小、范围。“一”和“点”在真实世界里是不存在的，由它俩演绎出来的代数和几何在真实世界里也是不存在的。数学世界是人类思维的存在。

我认为，数学追求的是精确、严谨、简洁、概括、统一。这是数学独有的、有别于其他学科的特点。

离开数学的精确，无法真正定义“多”“少”“远”“近”。人眼最多能分辨0.1毫米的差异，数学的精确可以使我们超越感知器官的局限，更好地认识微观世界。如果将短线段上的点与长线段上的点建立一一对应关系，那么它们上面的点的数量就是相同的，尽管这看起来如此不可思议。

数学本质上是从定义、公理、公设出发，按照逻辑推理规则，得出的一套演绎系统。数学的严谨表现在两方面：一是举反例的思维方式，这是数学不同于社会科学和实验科学的一大特点；二是其逻辑性，包括形式逻辑和辩证逻辑。在形式逻辑方面，要求概念和判断必须保持一致，判断要有充分根据，不自相矛盾，不模棱两可。在辩证逻辑方面，要求抓住数学中各式各样的矛盾(已知与未知、常量与变量、有限与无限、一般与特殊、直与曲……)进行分析转化。转化的策略一般有：化陌生为熟悉、化繁为简、顺推与逆推之结合、动与静之转化、数形结合、一般与特殊之互化…….

追求简单化是数学的灵魂，从一定意义上来说，数学是因为人类追求简单而诞生的。为节约时间和人力物力，人类在树干上刻痕计数，用0，1-9数字、进位制以及小数点，就可以表示超大的数，无限接近0的数；加法就是计数的简化；乘法就是复杂加法的简化。比如，写出个2相加。若写个2，9999个加号，麻烦无比，怎么办？简化它，写一个2，把加号旋转45度，取名为乘号，于是“个2相加”就简化为“2×”，这就是乘法，太简洁了。对初中生来说，乘方不是新运算，小学时就学过。乘方就是对复杂乘法的简化。比如，写出“个2相乘”。若写个2，9999个乘号，麻烦无比，怎么办？简化它，写一个2，乘号也不用了，在2的右上角写上“”。这就是乘方，太简洁了。有了乘方，知道幂和指数，求底数就是开方；知道幂和底数，求指数就是求对数。

数学追求至简的另一个典型是自然数的立方和公式：(见图二)

对于加法运算次数，公式两边都一样。但对于乘法，左边要算2n次，而右边却简化为只算一次。想象一下，如果n=1亿亿亿，那么左边要算2亿亿亿次乘法，那要占据多少内存，要花多少时间和算力，而右边就只需算一次。真是大道至简!

数学最精彩的是概括性，即以一个有限的模式驾驭无穷的具体，让人叹服。请看平面向量基本定理：想象一下平面上有多少个向量？向量有长有短，长至十万八千里，短至1纳米，还有无穷无尽的方向，这么多无穷无尽的向量如何掌控，太复杂了。不过，所有向量都逃不出数学的手心。对于平面上的任意一个非零向量，在这个平面上随意选定两个不共线的向量i和j，分别过起点A和终点B作直线a平行于i，直线b平行于j，因为i和j不共线，所以直线a、b必然交于一点，根据向量的三角形法则和数乘向量就可得出AB=mi nj。这么多无穷无尽的向量居然可以只用两个不共线的已知向量i和j线性表示。为了更简单，可以取i和j为正交的单位向量。平面向量基本定理就是这样简单、强大，强大到以一个有限的模式驾驭无穷的具体。平面向量基本定理就是数乘向量的推广，而且还可以推广到三维空间，其方法、结果形式几乎是一样的。数学是联系的、统一的，代数中的统一，几何中的统一，代数与几何的统一。

数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，为其它科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。有马克斯韦尔方程，才有电池波理论和现代通讯技术；有黎曼几何，才有广义相对论；有纳维-斯托克斯方程，才有流体力学、航空学；有牛顿万有引力定律，才有天文学、物理学。首位诺贝尔物理学奖得主者伦琴在被记者问到他需要什么时回答说：“第一是数学，第二是数学，第三是数学。”

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