耕耘半世纪 桃李遍神州——祝贺雷垣教授从事数

19Q1-千吊1帅乘方公式中学数学教学(疗+入)?二心9+2口：乙+20乙2+乙9二／／’+厶’+2口凸(<9r+厶)可以看U1，加果设所求的和式之值为x，则将义’展开后义会出现这个·珠知最真／，于是可以补列一个十——J：刀的方种。妍令 x=真／1十号√7／3+，S／1—号＼／7一／3，两边立方，得51／，=2+3，a／l—舌·(7／3)Y，Up》《9+X一2二0。这就是构造出来的辅匡方程。不难看出，这个方程只有一个实根：x=l，所以J，1+号／汀3+，S／l—舌／?／§二土。这里借助构这辅助方程，使得无理式的运算问题转化为有理方程釆考察，促进了问题的解决。构造辅助方程是常用的方法。又如：例3之(方程x‘+丫’+Y’+x+l二0的全部解。分析这个方程可以先除以父’(x。年0)，然后作代换z／=义十(1／。t)，再用二次三项式公式来处理，但运算较繁。然而，若用乘法公式构造如下新方程，则极易求得解：山(x—1)(x‘+二。+真；’+x+1)二。Yc一土，·知原问题是求人s；1(除x=1外)的全部解。而x；=1的全部解即为土的S个S次方根，日1·Yl二1， x2二C05(8冗／5)+isin(8g／5)，久e=COS(6叫5)+jsin(6v／5)，A’‘二COS告冗+；Sin音，(，Xs二COS舌／r+isin舌，r，于是很快街到凉问题的解。例4在四面体／16C刀中，／4月=／40=‘，／5／I／J：之月刀C=90。，／月C刀=60。，且平面止月刀上千而／)C凸，求异川直线／1刀与月C的距离。3’分析如图，在爿刀上取一点尸，过户作尸月小月．0，垂足为月，出平而爿月刀I。平伯；片C刀，矢门户月上平面月C0。在平面月C刀内，作月Q上召C，垂足为Q，连接户Q，由此，构造了一个使用三垂线定理的情景，有户Q上占C。当户在0止上移动时，由于尸Q始终与月C垂直相交，所以当户Q最小时，即为／4刀与召C的公垂线段。为了求得它，可以构造函数。·．设刀户=x，则有户月=0月=今／了x，刀月=／了e—十／了J真从而月Q=十月月=寺／了(2。—x)。于是得到辅助函数户Q。二户月。+月Q’；=亡5(x—·害尊)’／8)+舌口2。显然，当x=含d时，尸Q有最小值古√功口，即得所求异面直线爿刀与月C之间的距离为告√iBo。·、·、例S已知 sin止+Sin3止+sin5止二O，COS／4+co$3／4+cos5止：：：b。求证：(1)当凸却0时，tg3止=o／6，(2)(1+2cos2／4，9二d9+凸9。分析在已知条件中有止，3／4、5止这三个角，运算起来不方便，但是，从整体上考察两个已知式的左边，可以联想到复数2=COS止+；siⅡ止，利用棣莫佛公式对宕作处理，可以简化问题的解决o；解构造复数表达式．Z二COS爿+；sin爿，则2·才=1，即：=土／2。·‘6+"i二2+23十26．二(1+29+29)·之2

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