从水池注水问题谈起：兼论公安院校的数学建模

从水池注水问题谈起——兼论公安院校的数学建模教育王秀良(Iftl习人民公安大学邪科基础部，J匕京)摘要站舀：高等数学的观点下，通过数学建模的方法，对公务员考试中解决“水池注水”等初等数学问题的方法的科’、≯-陀和IIi确性提出J，质疑。结合!fj前公安院校的大学数学教育现状，提i=}{r在数学教学巾加强对学生进jj数。学建模教f}的迫切。陀和取要。陀。关键词公务员考试；数量父系；数学教育；数学模删；数学能力中图分类号!)035．319．1O引言近几年参加公务员考试的人数急剧上升。七年问增加了将近16倍。11"1i对于公安院校的学牛来说，公务员考试更是与每一个学生的就业息息相关。，国家公务人员作为现代的管理者，要进行高效、科学、规范的信息化管弹，要具备迅速、准确地理解和发现数蚺IL之问蕴含的关系并能进行数字运算的能力。，《行政能力测试》中数量关系测验主要用于考查应试者对数量关系的理解、计算和判断推理的能力，这种能力足人类智力的重要组成部分之，它涉及的知识和所用的材料基本上限j2初、高中甚至有些部分限于小学数学知识范围之内。考生经过考前大量的训练和总结，解决问题的方法变得越来越机械化和程式化。如果站在高等数学的观点下，我们会发现有一些公务员考试的数学问题的科学性值得进一步的推敲。下面是公务员考试各大网站精选例题讲解中的两道关于水池注水问题。例题1一个水池有两根水管，一根进水，一根排水。如果单开进水管，10分钟将水池灌满，如果单开排水管，15分钟把一池水放完。现在池子是空的，如果两管同时开放，多少分钟可将水池灌满?1解析令水池容积为1，则一分钟注水去，1分钟放水去。l÷(南一话1)=30。闪管同时开放，30分钟町将水池灌满。例题2一水池装有甲、乙、丙三个水管，甲、乙是进水管，丙是排水管，甲独开需1．5小时注满一池水，乙独开需3小时注满·池水，丙独开需2小时放光·池水，现在水池是空的，若：管齐开，问多少小时才能注满水池?解析令水池容积为1，则甲一小时注水去，乙一小时注水了1，丙一小时放水丁1。1÷(去+÷一÷l=2。三管齐开，2小时才能注满水池。此类有关水池注水、放水问题是近些年的国家及地方公务员考试中儿乎每年必考的数量关系题目之·。仔细分析题目，我们会发现，求解此类题目的方法存在很大的科学性问题。问题的关键在于此类方法忽视r水压对出水速度的影响，从而直接影响实际问题结果的科学性。1数学模型的建立进水管进水的速度可以看成是匀速的，但是出水管出水的速度却不可能是匀速的，因为水池底部出水口出水的速度与水池中水面的高度密切相关。由物理学知识，我们知道池中水越深，出水口处压强作者简介￡秀良(1976一)，男，天津人，博I：，研究力‘IhJ：科学史、数学史。·103·王秀良：从水池注水问题谈起——兼论公安院校的数学建模教育越大，出水速度也就越快，随着水池中水面高度的下降，出水口处压强也会变小，从而出水的速度也会减慢，即出水的速度永远也不可能匀速。现在我们建立数学模型，通过高等数学的方法来解决这个问题。假定水池是圆柱型的，先单独考虑一个进水管和一个出水管的情况。设单开进水管注满水池所需时问为71，，单开放水管把水放完所需时问为咒，圆柱形水池高为H，水池的横截面积为Js．，出水管的横截面积为s，，如图1所示。图1圆柱型水池不葸圈(一)单独考虑放水情况。设经过一段时问t，水池中的水面下降了高度^，水流出水池的速度为影，由能量守恒定律知，i1 my2=mgh，其中m为时间f内的出水量。故有秽=涿。设在At的时问内，水池中水面的变化量为Ah(Ah<0)，由于水是不可压缩的，所以有 s，(一△^)=s："△f，即面Ah=一百S2y。令A=一≥测瓮吼。(1)将”=历代入(1)式，得Ah：4惭。A t’“’。’令曰=4佤，故有等=曰肛。当△f—o时，有^’=曰何，即垫dt=曰瓶。所以—兰d^：日dz，解得2√万：8￡+c。 oh当t=0时，有h=Ⅳ，故C=2侮。2瓶=Bt+2如，当t=T2时，有h=0，即B712+2归=0。亦即曰=一吾归。(二)考虑进水管和出水管同时打开的情况。设经过时间At，池中水面上升的高度为Ah，故有Ah：iH△￡+BJ元-At。即堂：一H+曰瓶。(2)AtT1’。、’将日=一寺归代人(2)式，当△t_o时，有性鲁一母。㈩令n=茅，6=半，(3)式化简为 h7=a—b√i即兰：。l￡，令^：uz，有三芈：d￡ a—b,／h a—bu所以掣b^2。。1 u1一——Ⅱ a解方程得“+詈，nI·一鲁“l=一告z+c。当t=0时，有h=0，故C=0。所以“+詈·nI·一丢“l=一告t。 c4，将h=“2代人(4)式，得肛+等∞一等括l=一謦。当Ⅲ时刖_o，故1一等后-1，又由于1一百2T1√f百h陋．盯．间￡连续变化，所以·一等后地㈩即何+半·n(-一堡TzN压H1--／争。王秀良：从水池注水问题谈起——兼论公安院校的数学建模教育讨论：(i)当T：>2T，时，水池能注满。设t=T时，水池能注满，此时h=日；故有71=一疋一瓦T22 ln(1一百2T,)。(ii)当T2

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