基于CPFS理论的等比数列应用教学

喻平博士早在2003年《数学教育学报》一文《个体的CPFS结构与数学问题表征的相关性研究》中指出:一个数学概念C所有等价定义的图式,叫做概念C的概念域；一组具有数学抽象关系的概念网络的图式,叫做概念系；与一个命题等价的命题集的图式叫做这个命题的命题域；在一个命题集中,任何一个命题都至少与其他一个命题有“推出”关系,就称这个命题集的图式为一个命题系.概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构称为CPFS结构,是对数学认知结构的精确描述,它反映了对数学命题系数学学习特有的心理现象和规律. 我们将数学公理、定理、法则、公式等相关内容的学习,称为数学命题学习.我们认为数学命题学习策略有“获得、证明、应用、结构”四个环节.本文主要从储蓄、借贷、连续复利等方面深刻认识等比数列的应用,从而进一步完善等比数列的个体CPFS结构. 一、背景 储蓄与人们的日常生活密切相关,它对支援国家建设、安排好个人与家庭生活具有积极意义.计算储蓄所得利息的基本公式是:利息=本金×存期×利率.根据国家规定,个人储蓄存款利息应依法纳税,计算公式为:应纳税额=利息全额×税率，其中的税率为20%.个人储蓄实际所得为:本金+利息-应纳税额. 常见的几种储蓄方法:(1)整存整取定期储蓄;(2)活期储蓄;(3)分期储蓄;(4)复利计息储蓄. 如果你有一百万元准备存入银行,你将作何选择? 城乡居民和单位存款利率表 (参考) 种类期限调整前年利率(%)调整后年利率(%)活期一个月0.350.15整存整取三个月2.61.6六个月2.81.8一年3.02二年3.352.5三年4.03五年4.753.05 问题1定期五年,五年后本利和为多少元? 问题2定期一年,按复利计算利息,五年后的本利和为多少元? 总结规律:某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x,本利和为y元,试写出y随x变化的函数关系式. 问题3若五年内银行利率不再调整,采用何种储蓄方案最好? 二、在分期付款中的应用 分期付款是指对应付款项(如买汽车、贷款等)分几次(二次或以上)的付款方式.目前,分期付款方式普遍存在于房屋、车辆、保险等买卖合同中,具体方式大同小异,下面我们通过一道例题来介绍一种分期付款的方式. 例题小郭年初从银行贷款100万元用于购房,贷款年利率6%,按复利计算,若从贷款后次年初开始归还,分15次等额分期付款,15年还清,求每年应还多少元(精确到1元)? 思路1由分期付款的规定列式.设每次等额还款x元,则可列出下表: 贷款100万元15年后一次还清的本利合计第一次还款到第15年的本利合计第二次还款到第15年的本利合计…第十五次的还款(无利息)106(1+6%)15x(1+6%)14x(1+6%)13…x 根据题意列出方程: 106(1+6%)15=x(1+6%)14+x(1+6%)13+…+x. 思路2从每次还款后的欠款列式.设每次等额还款x元,则 第一次还款后尚欠款b1=(106×1.06-x)元; 第二次还款后尚欠款 b2=b1×1.06-x=(106×)元; 第三次还款后尚欠款 b3=b2×1.06-x=(106×)元; … 第十五次还款后尚欠款 b15=b14×1.06-x=(106×…-x)元. 又因为b15=0(第十五次还款后贷款恰好全部付清),所以 106×…-x=0，即 106×1.0615=(1.0614+1.0613+…+1)x. 注思路1是将分期付款问题视作分期存款,即从次年年底每年存款x万元,按规定利率进行复利计算,求得15年的本利和,然后向银行一次付清,这样就构成了以x万元为首项,1.06为公比的等比数列.求前15项之和S15,而S15恰好等于贷款100万元第15年一次还清的应付款106(1+1.06%)15,从而列出方程,解出x. 三、连续复利 自从人类有了贫富差距,借贷现象就应运而生.在约公元前1700年的古巴比伦泥版上有这样一个问题:以20%的年息贷钱给人,何时连本带利翻一番? 如果一年复利一次,那么一年后的本利和为1+0.2=1.200 000 000 0;如果每半年复利一次,那么一年后的本利和为比一年复利一次多了点;如果一个季度复利一次,那么一年后的本利和为比半年复利一次又多了点;如果每月复利一次,那么一年后的本利和为比一季度复利一次又多了点;如果每天复利一次,那么一年后的本利和为比每月复利一次又多了点;如果每时、每分、每秒复利,那么一年后的本利和分别为1.221 399 969 6、1.221 402 711 7、1.221 402 757 4. 从上面的计算可以看出,年率一定,分期复利,周期缩短,本利和缓慢增大.但无论周期怎么缩短,本利和并不会无限制增大,而是有一个“封顶”,永远超过不了这个封顶.这就是说，如果复利计算周期越来越小，一年后的本利和就越来越接近于这个“封顶”(极根).稍懂点微积分就能算出这个极限等于e0.2=1.221 402 758 1,它的底数e是在年息100%、每时每刻连续复利的情况下,1元钱一年后的本利和.相应复利周期下的本利和分别为: 每时每刻连续复利的情况下,本利和等于极限它就是自然对数的底.到了18世纪,欧拉首次用字母e来表示它,一直沿用至今. CPFS结构理论填补了我国数学知识表征研究的空白,它促使我们理解问题的表征对问题的解决有着重要的影响,个体的CPFS结构与数学问题表征之间存在密切的关系.我们认为具有优良的CPFS结构的学生更能合理、正确地表征问题,进而有效地解决问题；反之能够合理表征问题的学生,他们一定具备更优良的CPFS结构.本文以问题开路、问题驱动的方式,以等比数列的一类实际应用为出发点,从一个角度作实证推敲,不当之处,敬请斧正. (本文是江苏省“十二五”重点自筹课题《基于CPFS结构的“数学命题学习”的实践研究》成果之一)

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