架HPM与PME沟通之桥
1 引言
内容和学生是数学教育研究的两个重要对象．若把关注点放在学科内容上，可以展开一种数学教育学；若把关注点放在学生学习心理上，也可以展开一种数学教育学．HPM(数学史与数学教育)与PME(数学教育心理)是数学教育的两大主要研究领域．HPM是从数学或数学史的角度切入数学教育，其着眼点在于数学内容，PME是从学生或学生心理的角度切入数学教育．基于HPM或PME均可以设计很好的教学设计，并进入课堂教学实践，这些都已经为教学实践所证实．对教学设计及其课堂教学而言，没有最好，只有更好．凡方法，皆有长有短，HPM或PME亦然．现在这里的问题是，能不能架HPM与PME的沟通之桥，在相互沟通中，取长补短，使教学设计及其课堂教学更好？这里先进行一些经验性的探讨．
2 典型例子
2.1 在教学设计中的沟通
PME和HPM在教学设计中，可以很好地沟通，共同克服难点．
例1椭圆方程的推导
文[1]用历史上的和差术推导椭圆方程，课后的调查表明，学生对此方法不太适应．和差术是一种重要的方法，文[2]在信息技术的支持下，使和差术的价值得到彰显．现在，从学生已有的经验中寻找推导椭圆面积的方法．
设(x，y)是平面一个动点，其到两个定点(-c，0)和(c，0)距离之和是2a(2c<2a)，则有指出要充分尊重学生已有的经验，使知识从学生已有的经验中生长出来．(*)式是一个无理式，对无理式的处理之法是有理化，既可以是分子有理化，也可以是分母有理化．具体地，对(*)式实施有理化得到
即
联立(*)和(**)，椭圆方程自然得到了，和差术也得到了．
其实，把(*)设成也在学生已有活动经验之中．三个数a，b，c成等差数列，自然有2b=a+c，a可写成b-d，c可写成b+d的形式．
这里，PME先行，HPM随之，难点迎刃而解．
例2数学归纳法的教学设计
PME[3]认为数学归纳法的认知图式由函数图式与逻辑图式协调而成．其难点在于对Q=(p(n)→p(n+1))的认识．对命题Q而言，其是“若p，则q”的结构，其真假，不是由p(n)或p(n+1)而决定，而是由p(n)是否推得出p(n+1)来决定．换言之，即使p(n)和p(n+1)都为假，但只要p(n)是能推得出p(n+1)，那么命题Q也是正确的．举一个例子，除非太阳从西边出，黄河水才向西流．前后两个判断都是假的，但整句话却表达一个真值．因此，这里面的难点在于，首先，要会判断关于自然数n的命题的真假，最好能形成命题值函数的认知图式；其次，要把Q=(p(n)→p(n+1))这个蕴含过程压缩，使之不再是一个过程，而是一个认知、反省的对象，能形成蕴含值函数的图式．最后，还要加上一个肯定前言的假言推理过程，也是说，整个过程是从假设条件成立为前提，然后再进行推导，得到结论，并确认结论成立．
人类文明花了两千年才认识到“ 从n=k时命题成立，证明n=k+1时命题成立”这一步骤的重要性，这一步显然是认知上的难点．HPM和PME在这点上“英雄所见略同”．HPM采用了递归的处理法：充分利用上次的成果，把这次的结果建立在上次的成果之上，前后两次之间存在有机的逻辑关系．[4]也就是把后一步正确性归结为前一步的正确性，从而避免“除非太阳从西边出，黄河水才向西流”这样一种逻辑推理模式．
我们曾给出过基于数学史的数学归纳法的教学设计，这里借用APOS理论再重新解读此设计．APOS理论认为，数学概念的形成要经过活动(Action)、过程(Process)、对象(Object)和图式(Schema)．
文[4]的案例1和案例2通过正反两个案例，阐述引入数学归纳法的必要性．在这里是通过“计算—猜想”这种活动，初步直观感知要学习的对象的存在性．
案例3通过一个恒等式的证明，经历数学归纳法形成的过程，初步把数学归纳法当作一个对象．在“过程”阶段，通过对外显活动的辩证思考，发现这种推理模式有两大特点：一是“没完没了”，涉及到无穷，二是虽然“没完没了”，却有一个统一的模式．进而可以脱离物理操作，把物理操作中蕴含的模式，通过抽象、概括等一系列心理操作，抽象出数学归纳法的本质特征．数学归纳法历史发展过程中的重要阶段构成了设计“过程”阶段的极好素材，这正是HPM的认知历史发生原理所倡导的．正是让学生经历了这种历史相似性过程，学生才明白了数学归纳法两大步骤的可行性和合理性．
按APOS理论，“对象”阶段是对“过程”阶段的压缩，使其成为一个具体的“对象”，将数学归纳法作为一个新的“对象”来认识．也就是把数学归纳法中涉及到的递归原理的两大步骤处理一个完整的过程．应当来说，在短短的一节课中，要求学生实现从“过程”到“对象”的飞跃，是有难度的．故HPM用案例4示意性地帮助学生来完成这个过程．应当指出，要完全达到“对象”过程，必须有后续应用课跟进，故在实际的教学中，数学归纳法的教学往往需要2-3个课时才能达到教学目标．
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